Matematika Sekolah Menengah Atas Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jumlah ketiga bilangan itu adalah 78 dan hasil kalinya 5832. Tentukan ketiga bilangan tersebut ...​

yeseniakunzeulv – April 11, 2023

Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jumlah ketiga bilangan itu adalah 78 dan hasil kalinya 5832. Tentukan ketiga bilangan tersebut ...​

Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jumlah ketiga bilangan itu adalah 78 dan hasil kalinya 5832. Ketiga bilangan tersebut adalah​ 54, 18, 6 . . .    . atau 6, 18, 54 . . .    .

Pendahuluan

Barisan geometri adalah suatu barisan bilangan yang memiliki pembanding (rasio) bernilai tetap.

Barisan geometri tersebut dinyatakan sebagai  : U₁, U₂, U₃, . . .    . [tex]\text U_{\text n}[/tex]

Suku ke-n barisan geometri dirumuskan dengan : [tex]\boxed {\text U_{\text n} = \text a~.~\text r^{\text n - 1}}[/tex]

Deret geometri yaitu jumlah dari beberapa suku berurutan pada barisan geometri dengan pembanding (rasio) tetap.

Deret geometrinya dinyatakan sebagai : U₁ + U₂ + U₃ +  . . .    + [tex]\text U_{\text n}[/tex]

Jumlah n suku suatu Deret Geometri dirumuskan :

[tex]\boxed{~\text S_{\text n} = \frac{\text a~.~(\text r^{\text n} - 1)}{(\text r - 1)}~}[/tex] Untuk r > 1 atau

[tex]\boxed{~\text S_{\text n} = \frac{\text a~.~(1 - \text r^{\text n})}{(1 - \text r)} ~}[/tex] Untuk r < 1

Keterangan :

a = suku awal (U₁)

r = rasio (pembanding) = [tex]\frac{\text U_2}{\text U_1} = \frac{\text U_{\text n}}{\text U_{\text n ~-~ 1}}[/tex]

[tex]\text U_{\text n}[/tex] = suku ke-n

[tex]\text S_{\text n}[/tex] = Jumlah suku ke-n

Diketahui :

[tex]\text U_1 + \text U_2 + \text U_3 = 78[/tex]

[tex]\text U_1 \times \text U_2 \times \text U_3 = 5832[/tex]

Ditanyakan :

[tex]\text U_1[/tex] = . . .    .

[tex]\text U_2[/tex] = . . .    .

[tex]\text U_3[/tex] = . . .    .

Jawab :

Barisan geometri : [tex]\text U_1[/tex], [tex]\text U_2[/tex], [tex]\text U_3[/tex], . . .    .

[tex]\text U_1 + \text U_2 + \text U_3 = 78[/tex]

[tex]\text U_1 \times \text U_2 \times \text U_3 = 5832[/tex]

Maka didapat :

[tex]\text U_1 + \text U_2 + \text U_3 = 78[/tex]     ⇔ [tex]\text {a + ar + ar}^2 = 78[/tex]

[tex]\text U_1 \times \text U_2 \times \text U_3 = 5832[/tex]

⇔ [tex]\text a \times \text ar \times \text {ar}^2 = 5832[/tex]

⇔ [tex]\text a^3 \text r^3 = 5832[/tex]

⇔ [tex]\text {(ar)} ^3 = 5832[/tex]

⇔ [tex]\text {(ar)} ^3 = 5832[/tex]

⇔ [tex]\text {(ar)} ^3 = 18^3[/tex]

⇔     [tex]\text {ar} = 18[/tex] . . . . . . . Persamaan 1)

[tex]\text U_1 + \text U_2 + \text U_3 = 78[/tex]    

⇔ [tex]\text {a + ar + ar}^2 = 78[/tex]

⇔ [tex]\text a + 18 + 18\text r = 78[/tex]

⇔         [tex]\text a + 18\text r = 78 - 18[/tex]

⇔         [tex]\text a + 18\text r = 60[/tex] . . . . . . . Persamaan 2)

Jika [tex]\text {ar} = 18[/tex], maka [tex]\text a = \frac{18}{\text r}[/tex], selanjutnya disubstitusikan ke Persamaan 2)

[tex]\text a + 18\text r = 60[/tex]

⇔ [tex]\frac{18}{\text r} + 18\text r = 60[/tex] . . . . . . .  selanjutnya kedua ruas dikalikan r, didapat :

⇔ [tex]18 + 18\text r^2 = 60\text r[/tex]

⇔ [tex]18\text r^2 - 60\text r + 18 = 0[/tex]

⇔    [tex]3\text r^2 - 10\text r + 3 = 0[/tex]

⇔    [tex](3\text r - 1)(\text r - 3) = 0[/tex]

Akar-akarnya :

3r - 1 = 0 atau r - 3 =0

[tex]\text r_{_1} {= \frac{1}{3} }[/tex] atau [tex]\text r_{_2} = 3[/tex] disubstitusikan ke persamaan 1)

Untuk [tex]\text r_{_1} {= \frac{1}{3} }[/tex] maka a = 54

[tex]\text U_1[/tex] = [tex]\text a[/tex]   = 54

[tex]\text U_2[/tex] = [tex]\text a \text r[/tex]  = 18

[tex]\text U_3[/tex] = [tex]\text a \text r^2[/tex] = 6

Untuk [tex]\text r_{_2} = 3[/tex] maka a = 6

[tex]\text U_1[/tex] = [tex]\text a[/tex]   = 6

[tex]\text U_2[/tex] = [tex]\text a \text r[/tex]  = 18

[tex]\text U_3[/tex] = [tex]\text a \text r^2[/tex] = 54

∴ Jadi barisannya adalah [tex]\text U_1[/tex], [tex]\text U_2[/tex], [tex]\text U_3[/tex], . . .    . yaitu 54, 18, 6, . . .    . atau

  [tex]\text U_1[/tex], [tex]\text U_2[/tex], [tex]\text U_3[/tex], . . .    . yaitu 6, 18, 54, . . .    .

Pelajari Lebih Lanjut

1. Suku ke-12 Barisan Geometri : https://brainly.co.id/tugas/50696041
2. Panjang tali : https://brainly.co.id/tugas/94600
3. Suku ke-5 jika U₃ = 3 dan U₆ = 24 : https://brainly.co.id/tugas/4508724
4. Deret geometri : https://brainly.co.id/tugas/15151970
5. Deret geometri : https://brainly.co.id/tugas/104749
6. Barisan dan deret geometri : https://brainly.co.id/tugas/986059
7. Jumlah 6 suku pertama deret geometri 2 + 6 + 18 + … : https://brainly.co.id/tugas/46742343
8. Menentukan suku ke-10 barisan geometri https://brainly.co.id/tugas/50444542

_______________________________________________________

Detail Jawaban

Kelas            : IX - SMP

Mapel           : Matematika

Kategori       : Barisan dan Deret

Kode             : 9.2.2

Kata Kunci   : Barisan geometri, suku pertama, rasio, suku ke-n

#CerdasBersamaBrainly

#BelajarBersamaBrainly

[answer.2.content]